シンプラル法律事務所
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数学

大学数学ことはじめ  
Ⅰ 数理科学基礎共通資料  
◆第1章 集合と写像 
  ◇1 集合
  ■1.1 集合とは何か
    集合:数学的対象が集まったもの
元(要素):集合をなす1つ1つの集学的対象
  ■1.2 所属関係 
    数学的対象aが集合Aをなす元の1つ⇒a∈Aと表し、aはAに属する。
    2つの集合A、Bが等しいのは、x∈Aとx∈Bが互いに同値になるとき。
  ■1.3 集合の例(整数系) 
    自然数1,2,3...をもれなく1つずつ集めて得られる集合⇒
整数...-2、-1、0、1、2、3...の集合⇒
有理数:整数を0でない整数で割った形の分数としてあらわされる数⇒その集合は
直線上の点の表す数⇒実数⇒その集合は
直線上の点は実数と1対1に対応⇒直線とは実数全体の集合Rのこと。
有理数でない実数=無理数
  ■1.4 空集合 
    全く元を持たない集合=空集合⇒∅
  ■1.5 集合の表記法 
    有限個の元からなる集合⇒{ }で括る
空集合⇒{ }
    集合の概念は、何が集合に属するかだけに注目⇒重複や順序の違いは無視

{1,2}={2,1}={2,1,2}
    集合Xが有限集合であること⇒|X|<∞または#X<∞と表す。
有限集合Xの元の個数を|X|または#Xと表す
  ■1.6 包含関係と部分集合 
    Aの元がすべてBの元でもある時
x∈Aならばx∈B
⇒AはBに含まれるといい、A⊂Bと表す。
AはBの部分集合。
A=Bのとき⇒A⊂B、B⊂Aも成立。
A⊂BとB⊂Aがともに成立⇒A=B
A⊂BかつA≠Bであるとき、AはBに真に含まれると言い、AはBの真部分集合であるとも言う。
    所属関係∈と
包含関係⊂
の違いを明瞭に認識する必要。
正しい:
1∈{1}
{1}⊂{1}
誤り:
{1}∈{1}
1⊂{1}
誤り:
{1}∈{1,2}、{2}∈{1,2}、{1,2}∈{1,2}
1⊂{1,2}、2⊂{1,2}
    文献によっては、AがBに含まれるときに、A⊆Bと表し、
AがBに真に含まれるときにA⊂Bと表すこともある。
     
◇    ◇2 集合の構成法 
    集合を定めるためには、数や点などの数学的対象が集合に属するかどうか判定する条件を与えればよい。
  ■2.1 条件とは何か
    集合Xの元を動く変数xに関する主張であって、
xの値によって成立する(真となる)か成立しない(偽となる)か定まっているものを
xに関する条件と呼ぶ。
    変数xに関する条件を一般に現すのにP(x)のように書く。
条件P(x)が真となるような変数xの値について、そのようなxは「P(x)を満たす」という。
2つの条件P(x)、Q(x)が両方とも成立する条件を「P(x)かつQ(x)」と言い、
これをP(x)∧Q(x)と表す。
P(x)とQ(x)の少なくとも一方が成立する条件を「P(x)またはQ(x)」と言い、
これをP(x)∨Q(x)と表す。
2つの条件P(x)とQ(x)をコンマでつないでP(x),Q(x)と書き、これを1つの条件と見る場合には、
P(x)かつQ(x)を意味する。
  ■2.2 条件で与えられる部分集合 
    集合Xの元xで条件P(x)を満たすもの全体からなる集合A:
A={x∈X|P(x)}
このようにあらわされる集合Aについてx∈Aとなることとx∈XかつP(x)となることは、互いに同値。 
実数aに対して、集合R>a及びR≧aを次のように定める。
R>a={x∈R|x>a}、R≧a={x∈R|x≧a}
     
  ■2.3 集合の交叉と合併 
    集合Xの2つの部分集合A、Bに対して、次のように表す。
A∩B={x∈X|x∈Aかつx∈B}
A∪B={x∈X|x∈Aまたはx∈B}
A∩B∩C={x∈X|x∈Aかつx∈Bかつx∈C}
A∪B∪C={x∈X|x∈Aまたはx∈Bまたはx∈C}
    分配則
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
  ■2.4 差集合 
     
  ◇3 集合の直積
  ◇4 写像
  ◇5 全射・単射と逆写像 
     
  ◆第2章 述語論理
◇    ◇1 述語論理
  ◇2 上界と下界
  ◇3 上限と下限
  ◇4 関数の極大と極小
     
  ◆第3小 関数の極限